【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,點D在AB上,連接CD,并將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE,連接AE.
(1)如圖1,當(dāng)點D為AB中點時,直接寫出DE與AE長度之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點D在線段AB上時,
① 根據(jù)題意補(bǔ)全圖2;
② 猜想DE與AE長度之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)DE=AE;(2)①補(bǔ)全圖形見解析;②DE=AE,證明見解析.
【解析】
(1)想辦法證明△ADE是等邊三角形即可解決問題.
(2)①根據(jù)要求畫出圖形即可.
②首先證明△的長,△FBC都是等邊三角形,再證明△ECF≌△DCB,推出∠4=∠5=60°,證明△EFA≌△EFC(SAS)可得結(jié)論.
解:(1)結(jié)論:DE=AE.
理由:如圖1中,
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,∠B=60°,
∵AD=DB,
∴CD=AD=DB,
∴△CDB是等邊三角形,
∴∠CDB=60°,
∵DC=DE,∠CDE=60°,
∴∠ADE=180°﹣∠ED﹣∠CDB=60°,
∵DA=DC,DC=DE,
∴AD=DE,
∴△ADE是等邊三角形,
∴DE=AE.
(2)①圖形如圖2所示:
②如圖2﹣1中,結(jié)論:DE=AE.
理由:取AB的中點F,連接CE,CF,EF.
∵∠ACB=90°,AF=BF,
∴CF=AF=BF,
∵∠B=60°,
∴△BCF是等邊三角形,
∵DC=DE,∠CDE=60°,
∴△ECD是等邊三角形,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°,CE=CD,CF=CB,
∴∠1=∠3,
∴△ECF≌△DCB(SAS),
∴∠5=∠B=60°,
∵∠6=60°,
∴∠4=∠5=60°,
∵EF=EF,FA=FC,
∴△EFA≌△EFC(SAS),
∴AE=EC,
∵EC=ED,
∴AE=ED.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點O作BD的垂線與邊AD,BC分別交于點E,F,連接BE交AC于點K,連接DF.
(1)求證:四邊形EBFD是菱形;
(2)若BK=3EK,AE=4,求四邊形EBFD的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】全球已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代,大數(shù)據(jù)(bigdata)是指數(shù)據(jù)規(guī)模巨大,類型多樣且信息傳播速度快的數(shù)據(jù)庫體系.大數(shù)據(jù)在推動經(jīng)濟(jì)發(fā)展,改善公共服務(wù)等方面日益顯示出巨大的價值.為創(chuàng)建大數(shù)據(jù)應(yīng)用示范城市,我市某機(jī)構(gòu)針對市民最關(guān)心的四類生活信息進(jìn)行了民意調(diào)查(被調(diào)查者每人限選一項),下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出不完整的兩個統(tǒng)計圖表:
請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次參與調(diào)查的人數(shù)是________,扇形統(tǒng)計圖中部分的圓心角的度數(shù)是________,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)這次調(diào)查的市民最關(guān)心的四類生活信息的眾數(shù)是________類;
(3)若我市現(xiàn)有常住人口約600萬,請你估計最關(guān)心“城市醫(yī)療信息”的人數(shù).
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=3,M是CD邊上一動點(不與D點重合),點D與點E關(guān)于AM所在的直線對稱,連接AE,ME,延長CB到點F,使得BF=DM,連接EF,AF.
(1)依題意補(bǔ)全圖1;
(2)若DM=1,求線段EF的長;
(3)當(dāng)點M在CD邊上運(yùn)動時,能使△AEF為等腰三角形,直接寫出此時tan∠DAM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠APB,點C在射線PB上,PC為⊙O的直徑,在∠APB內(nèi)部且到∠APB兩邊距離都相等的所有的點組成圖形M,圖形M交⊙O于D,過點D作直線DE⊥PA,分別交射線PA,PB于E,F.
(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形;
(2)求證:DE是⊙O的切線;
(3)如果PC=2CF,且,求PE的長.
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【題目】如圖(1) ,將一個正六邊形各邊延長,構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1,取△ABC和△DEF各邊中點,連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖(2)中陰影部分;取△A1B1C1和1D1E1F1各邊中點,連接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2,如圖(3) 中陰影部分;如此下去…,則正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面積為_______.
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【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的任意一點,給出如下定義:經(jīng)過點且平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫做點的“特征線”.例如:點的特征線是和.
(1)若點的其中一條特征線是,則在、、三個點中,可能是點的點有_______;
(2)已知點的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與軸相交于點,直線經(jīng)過點,且與軸交于點.使的面積不小于6,求的取值范圍;
(3)已知點,,且的半徑為1.當(dāng)與點的特征線存在交點時,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一筆總額為元的獎金,分為一等獎、二等獎和三等獎,獎金金額均為整數(shù),每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的兩倍,每個二等獎的獎金是每個三等獎獎金的兩倍,若把這筆獎金發(fā)給個人,評一、二、三等獎的人數(shù)分別為,且,那么三等獎的獎金金額是_______元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,∠B=45°,點C恰好在以AB為直徑的⊙O上.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)連接BD,若AB=8,求BD的長.
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