Question

（本小題滿分14分）

已知：如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，），  與x軸交于點(diǎn)A、 B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC，交AC于點(diǎn)D，連接CP．當(dāng)△CPD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)Q，與直線BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（，0）．問(wèn)：是否存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形？若存   在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

（3）或

解析:（1）由題意，得

       解得.……2分

    ∴所求拋物線的解析式為：．.……3分

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G．

∴由，得．

    ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0）．.……4分

    ∴AB=6，BP=2-x．

    ∵點(diǎn)P在線段AB上，

    ∴．.……5分

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC

∴   

即，∴．

 ∴

  

   .……8分

又，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)P．.……9分

（3）存在．

在△OMF中．

①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．

又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．

∴∠BMF=90°．此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，-2）．

由，得．

此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．.……11分

②若OF=MF，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E，

由等腰三角形的性質(zhì)得：，∴BE=3，

∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．

由，得．

此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．.……13分

③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，

∴點(diǎn)O到BC的距離為，而OF=OM=2<，

此時(shí)，不存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．.……14分

綜上所述，存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：

或．