Question

如圖1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為AB中點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)作直角∠DPE，分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E．
（1）求證：PD=PE；
（2）如圖2，過(guò)B作BM∥AC，再將直角∠DPE繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，交CB的延長(zhǎng)線于D，交BM于E，線段PD與PE仍然相等嗎？如果相等，請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接CP，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PC=PA，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，進(jìn)而利用ASA得到三角形DCP與三角形APE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）PD=PE，理由為：連接CP，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用平行線的性質(zhì)及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再有BP=CP，利用ASA得到三角形CPD與三角形BPE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得證．

解答：（1）證明：連接CP，
∵P為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CP=AP=BP，∠DCP=∠A=45°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPC+∠CPE=90°，
∵∠CPE+∠APE=90°，
∴∠DPC=∠APE，
在△DCP和△EAP中，

∠DPC=∠APE PC=PA ∠PCD=∠A

，
∴△DCP≌△EAP（ASA），
∴PD=PE；
（2）解：PD=PE，理由為：
證明：連接PC，
∵∵P為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CP=AP=BP，∠DCP=∠A=45°，
∵BM∥AC，
∴∠EBP=∠A=45°，
∴∠DCP=∠EBP，
∵∠CPB=∠DPE=90°，
∴∠CPB+∠DPB=∠DPE+∠DPB，即∠DPC=∠EPB，
在△DCP和△EBP中，

∠DPC=∠EPB CP=BP ∠DCP=∠EBP

，
∴△DCP≌△EBP（ASA），
∴PD=PE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．