【題目】如圖,在中,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合),延長FD到點(diǎn)G,使,連接EF、AG,已知,,.
(1)試說明;
(2)請你連接EG,設(shè),,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)是以BF為腰的等腰三角形時(shí),直接寫出AE的長,不必說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)AE的長度為或
【解析】
(1)由D是AB中點(diǎn)知AD=DB,結(jié)合DG=DF,∠ADG=∠BDF即可證得,從而可得結(jié)論;
(2)連接EG.根據(jù)垂直平分線的判定定理即可證明EF=EG,由△ADG≌△BDF,推出∠GAB=∠B,推出∠EAG=90°,可得EF2=(8-x)2+y2,EG2=x2+(6-y)2,根據(jù)EF=EG,可得(8-x)2+y2=x2+(6-y)2,由此即可解決問題;
(3)如圖2中,分兩種情況討論即可.①當(dāng)BF=DB時(shí).②當(dāng)DF=FB時(shí),連接DC,過點(diǎn)D作DH⊥BC于H,想辦法求出y的值,再利用(2)的結(jié)論即可解決問題.
(1)∵D是AB中點(diǎn),
∴,
∵,
∴,
∴.
(2)如圖,連接EG.
∵DG=FD,DF⊥DE,
∴EF=EG.
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴是直角三角形,且,
∴,
由(1)知
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
(3)如圖2中,
①當(dāng)BF=DB時(shí),6-y=5,
∴y=1,1=,
∴x=,即AE=.
②當(dāng)DF=FB時(shí),連接DC,過點(diǎn)D作DH⊥BC于H,則DF=FB=6-y,
∵∠ACB=90°,D是AB中點(diǎn),
∴DC=DB=5,
∵DH⊥BC,BC=6,
∴CH=BH=3,
∴FH=3-y,
∵DH⊥BC,由勾股定理可得DH=4,
在Rt△DHF中,(6-y)2=42+(3-y)2,
解得y=,
∴=,
解得x=,即AE=.
綜上所述,AE的長度為或.
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(1)求k和b的值;
(2)若點(diǎn)P(x,y)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,求出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)探究:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△OPA的面積為.
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指出其旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度;
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示
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(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律,補(bǔ)全以下表格,并求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
單層部分的長度x(cm) | … | 4 | 6 | 8 | 10 | … | 150 |
雙層部分的長度y(cm) | … | 73 | 72 | 71 | ______ | … | ______ |
(2)根據(jù)小垣的身高和習(xí)慣,挎帶的長度為120cm時(shí),背起來正合適,請求出此時(shí)單層部分的長度.
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