Question

已知平行四邊形ABCD，AC、BD為對(duì)角線，求證：AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，求證△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，所以AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

解答：證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，
則∠AEB=∠DFC=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，

∠AEB=∠DFC ∠ABE=∠DCF AB=DC

，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，有一定的拔高難度，屬于難題．