Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$與直線AC交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)B坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是射線CB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)D，
①當(dāng)PD=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)取點(diǎn)M，使MQ=$\frac{3}{2}$，在QP的延長線上取點(diǎn)N，連接PM，AN，已知tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，求線段PN的長．

Answer 1

分析 （1）先利用y=kx+3確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）①先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+3求出k得到直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，如圖1，利用一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），則D（t，$\frac{1}{2}$t²-t+3），再用t分別表示出PD和PC，則利用PD=PC可得到關(guān)于t的方程，然后得到關(guān)于t的兩個一元二次方程，再解方程求出滿足條件的t的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
②如圖2，先利用直線AB的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），則可用t表示PQ和AQ，再利用三角函數(shù)的定義得關(guān)于t的方程，然后解方程可求出PN的長．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=kx+3=3，則C（0，3），
把C（0，3），B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{1}{2}×\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=\frac{45}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x+3；
（2）①把B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=kx+3得$\frac{7}{2}$k+3=$\frac{45}{8}$，解得k=$\frac{3}{4}$，
所以直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
如圖1，設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），則D（t，$\frac{1}{2}$t²-t+3），
所以PD=|$\frac{1}{2}$t²-t+3-（$\frac{3}{4}$t+3）|=|$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{4}$t|，
而PC=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{3}{4}t+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
因?yàn)镻D=PC，
所以|$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{4}$t|=$\frac{5}{4}$t，
當(dāng)$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{4}$t=$\frac{5}{4}$t時，解得t₁=0（舍去），t₂=6，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，$\frac{15}{2}$）；
當(dāng)$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{4}$t=-$\frac{5}{4}$t時，解得t₁=0（舍去），t₂=1，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{15}{4}$）；
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，$\frac{15}{2}$）或（1，$\frac{15}{4}$）；
②如圖2，當(dāng)y=0時，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，則A（-4，0），
設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），則PQ=$\frac{3}{4}$t+3，AQ=t+4，
在Rt△NAQ中，tan∠NAQ=$\frac{NQ}{AQ}$=$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$，
在Rt△NMQ中，tan∠MPQ=$\frac{QM}{PQ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
而tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，
所以$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
所以PN=2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會解一元二次方程．