Question

如圖，在□ABCD中，延長CD到E，使DE＝CD，連接BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G。

（1）求證：AF＝DF；

（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的長。

Answer 1

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行線分線段成比例．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案；

（2）在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN＝1＝AN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出AC，根據(jù)△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據(jù)□BDEA求出BF，即可求出答案．

【解答】（1）證明：連接BD、AE，（如圖1）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DE＝CD，

∴AB∥DE，AB＝DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AF＝DF．

（2）解：在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN，（如圖2）

∵∠ABC＝60°，

∴△ANB是等邊三角形，

∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°，

∵BC＝2AB＝2，

∴CN＝1＝AN，

∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°，

∴∠BAC＝90°，

由勾股定理得：AC＝＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴△AGB∽△CGE，

∴＝＝，

∴＝，AG＝，

在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝，

∵＝，

∴GE＝，BE＝＋＝2，

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BF＝BE＝，

∴FG＝－＝．

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．