Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0）．直線y=h（h為常數(shù)，且0＜h＜6）與BC交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BE，求h為何值時(shí)，△BDE的面積最大；
（3）已知一定點(diǎn)M（-2，0）．問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0），
∴．
解得：．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式為y=mx+n，則
，
解得．
∴經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式為：y=-3x+6．
∵點(diǎn)E在直線y=h上，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，h）．
∴OE=h．
∵點(diǎn)D在直線y=h上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h．
把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．
解得x=．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，h）．
∴DE=．
∴S_△BDE=•OE•DE=•h•=-（h-3）²+．
∵-＜0且0＜h＜6，
∴當(dāng)h=3時(shí)，△BDE的面積最大，最大面積是．

（3）存在符合題意的直線y=h．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線的解析式為y=kx+p，則
，
解得．
故經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線的解析式為y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x=．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，h）．
在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．
①若OF=OM，則=2，
整理，得5h²-12h+20=0．
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程無解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，則=，
解得h=4．
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1．
∵點(diǎn)G在第二象限，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，4）．
③若MF=OM，則=2，
解得h₁=2，h₂=-（不合題意，舍去）．
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=，x₂=．
∵點(diǎn)G在第二象限，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，2）．
綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當(dāng)h=4時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，4）；當(dāng)h=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，2）．
分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式，由題意可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，h），則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，h），則可得S_△BDE=•OE•DE=•h•=-（h-3）²+，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△BDE的面積最大；
（3）分別從①若OF=OM，則=2、②若OF=MF，則=與③若MF=OM，則=去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．