【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證:CE=AD;

(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由;

(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)點(diǎn)DAB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是菱形,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)∠A的大小是45°時(shí),四邊形BECD是正方形.

【解析】分析:(1)由BCAC,DEBC,得到DEAC,從而判斷出四邊形ADEC是平行四邊形.即可,

2)先判斷出BFD≌△CFE,再判斷出BCDE垂直且互相平分,得到四邊形BECD是菱形.

3)先判斷出CDB=90°,從而得到有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

解析:(1)證明:直線mAB

ECAD

∵∠ACB=90°,

BCAC

DEBC

DEAC

ECAD,DEAC,

四邊形ADEC是平行四邊形.

CE=AD

2)當(dāng)點(diǎn)DAB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是菱形.

證明: DAB中點(diǎn),

DB=DA

直線mAB,CE=AD

DB= CE,DB CE

四邊形BDCE是平行四邊形

DEBC

四邊形BECD是菱形

3)當(dāng)A的大小是45°時(shí),四邊形BECD是正方形.

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2)求證:CE2=EHEA;

3)若⊙O的直徑為5,sinA=,求BH的長(zhǎng).

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(1)若李師傅將甲種商品提價(jià)40%,乙種商品提價(jià)30%全部出售,他獲利多少元?(用含有a,b的式子表示結(jié)果)

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②設(shè)BDC的面積為S1,AEC的面積為S2,則S1S2的數(shù)量關(guān)系是____________.

(2)猜想論證

當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了BDCAECBCCE邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4,DE//ABBC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng).

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