Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)線段MN的中點(diǎn)G作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交△ABC的另一邊于點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇；

（2）設(shè)△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）2.5

（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理可得AB=10，若動(dòng)點(diǎn)M、N相遇，則有t+3t=10，即可求出t的值；

（2）由于“點(diǎn)P在BC上”與“點(diǎn)P在點(diǎn)AC上”及“點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊”與“點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊”對(duì)應(yīng)的MN、PG的表達(dá)式不同，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式也就不同，因此需分情況討論．只需先考慮臨界位置（點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合、點(diǎn)N與點(diǎn)A重合）所對(duì)應(yīng)的t的值，然后分三種情況（①0≤t≤1.4，②1.4＜t＜2.5，③2.5＜t≤）討論，用t的代數(shù)式表示出MN和PG，就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，

∴t+3t=10，解得t=2.5（s），

即當(dāng)t=2.5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M，N相遇；

故答案為2.5；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，

由S△ABC=ACBC=ABCH得，CH==4.8，

∴AH==3.6，BH=10﹣3.6=6.4．

∵當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤．

當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，如圖1、圖2，

MN=AB﹣AM﹣BN=10﹣t﹣3t=10﹣4t．

∵點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，∴MG=MN=5﹣2t，

∴AG=AM+MG=t+5﹣2t=5﹣t，

∴BG=10﹣（5﹣t）=t+5．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

則有5﹣t=3.6，解得t=1.4．

當(dāng)2.5＜t≤時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，如圖3，

∵MN=AM﹣AN=AM﹣（AB﹣BN）=t﹣（10﹣3t）=4t﹣10，

∴NG=MN=2t﹣5，

∴AG=AN+NG=10﹣3t+2t﹣5=5﹣t．

綜上所述：①當(dāng)0≤t≤1.4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在BC上，如圖1，

此時(shí)MN=10﹣4t，BG=t+5，PG=BGtanB=（t+5）=t+，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（t+）=﹣t2﹣t+；

②當(dāng)1.4＜t＜2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在AC上，如圖2，

此時(shí)MN=10﹣4t，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（﹣t）=t2﹣20t+；

③當(dāng)2.5＜t≤時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，點(diǎn)P在AC上，如圖3，

此時(shí)MN=4t﹣10，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（4t﹣10）（﹣t）=﹣t2+20t﹣；

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為．