【題目】我們定義:對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

1)如圖1,垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于O.求證:AB2+CD2AD2+BC2

2)如圖2,分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連結(jié)BECG,GE

①求證:四邊形BCGE是垂美四邊形;

②若AC4,AB5,求GE的長.

【答案】1)見解析;(2)①見解析;②GE

【解析】

1)由垂美四邊形得出AC⊥BD,則∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,即可得出結(jié)論;
2連接BGCE相交于點(diǎn)N,CEAB于點(diǎn)M,由正方形的性質(zhì)得出AG=AC,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,易求∠GAB=∠CAE,由SAS證得△GAB≌△CAE,得出∠ABG=∠AEC,由∠AEC+∠AME=90°,得出∠ABG+∠AME=90°,推出∠ABG+∠BMN=90°,即CE⊥BG,即可得出結(jié)論;
垂美四邊形得出CG2+BE2=CB2+GE2,由勾股定理得出BC==3,由正方形的性質(zhì)得出CG=4 BE=5,則GE2=CG2+BE2-CB2=73,即可得出結(jié)果.

1)證明:∵垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于O,

ACBD

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD90°,

由勾股定理得:AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2AB2+CD2

2)①證明:連接BG、CE相交于點(diǎn)N,CEAB于點(diǎn)M,如圖2所示:

∵正方形ACFG和正方形ABDE,

AGACABAE,∠CAG=∠BAE90°,

∴∠CAG+BAC=∠BAE+BAC,即∠GAB=∠CAE,

GABCAE中,,

∴△GAB≌△CAESAS),

∴∠ABG=∠AEC,

∵∠AEC+AME90°,

∴∠ABG+AME90°

∴∠ABG+BMN90°,即CEBG,

∴四邊形BCGE是垂美四邊形;

②解:∵四邊形BCGE是垂美四邊形,

∴由(1)得:CG2+BE2CB2+GE2,

AC4,AB5,

BC3

∵正方形ACFG和正方形ABDE,

CGAC4,BEAB5

GE2CG2+BE2CB2=(42+523273,

GE

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱,且AB=6,頂點(diǎn)在函數(shù)y=2x的圖象上,則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為________。

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【題目】甲、乙兩位同學(xué)做拋骰子(均勻正方體形狀)實(shí)驗(yàn),他們共拋了60次,出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)的次數(shù)如表:

向上點(diǎn)數(shù)

1

2

3

4

5

6

出現(xiàn)次數(shù)

8

10

7

9

16

10

(1)計(jì)算出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為6的頻率.

(2)丙說:如果拋600次,那么出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)一定是100次.請(qǐng)判斷丙的說法是否正確并說明理由.

(3)如果甲乙兩同學(xué)各拋一枚骰子,求出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率.

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【題目】如圖,在ABC中,∠A70°.按下列步驟作圖:①分別以點(diǎn)BC為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交BA,BC,CA,CB于點(diǎn)D,E,FG;②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)M;③分別以點(diǎn)FG為圓心,大于FG為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)N;④作射線BM交射線CN于點(diǎn)O.則∠BOC的度數(shù)是_____

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【題目】已知x、y是實(shí)數(shù)且滿足x2+xy+y2﹣2=0,設(shè)M=x2﹣xy+y2,則M的取值范圍是_____

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(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長;

(2)如果把CAE的周長記作CCAE,BAF的周長記作CBAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;

(3)當(dāng)∠ABE的正切值是時(shí),求AB的長.

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【題目】如圖,在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有一點(diǎn)A,連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B,在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)C始終在函數(shù)y=的圖象上運(yùn)動(dòng),若tanCAB=3,則k=_____

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)ykx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A01),且與直線y2x5相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,直線y2x5y軸交于點(diǎn)B

1)求k、b的值;

2)求△ABP的面積;

3)根據(jù)圖象可得,關(guān)于x的不等式2x5kx+b的解集是   ;

4)若點(diǎn)Qx軸上,且滿足SABQSABP,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是   

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【題目】已知二次函數(shù)yax2+bx+ca≠0)的圖象如圖,有下列6個(gè)結(jié)論:

abc<0;

bac;

4a+2b+c>0;

2c<3b

a+bmam+b),(m≠1的實(shí)數(shù))

2a+b+c>0,其中正確的結(jié)論的有_____

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