Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示．
（1）如圖，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求證：a²=b（b+c）．

（2）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．第一問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，關(guān)系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．

（3）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊的長(zhǎng)，使這三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可求得各角的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)求得各邊的關(guān)系，從而不難得到結(jié)論．
（2）根據(jù)已知表示各角的度數(shù)，再根據(jù)正弦定理對(duì)式子進(jìn)行整理，從而得到結(jié)論；
（3）注意分三種情況進(jìn)行分析．

解答：（1）證明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=

3

b
∴a²=3b²=b（b+c）

（2）解：關(guān)系式a²=b（b+c）仍然成立．
法一：證明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）

（3）解：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應(yīng)有a²=b（b+c），且a＞b．
當(dāng)a＞c＞b時(shí)，設(shè)a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以證明這個(gè)三角形中，∠A=2∠B
當(dāng)c＞a＞b及a＞b＞c時(shí)，
均不存在三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倍角三角形．
邊長(zhǎng)為4，5，6的三角形為所求．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的判定，勾股定理及正弦定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．