Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，O到頂點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點，若B在⊙O上運動一周．

（1）點P的運動路徑是一個圓；

（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）≤PC≤

【解析】

（1）連接OA、OB，取OA的中點H，連接OB，HP，則HP是△ABO的中位線，得出HP＝OB＝1，即P點到H點的距離固定為1，即可得出結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出PC的最小值和最大值即可．

（1）解：連接OA、OB，取OA的中點H，連接HP，如圖1所示：

則HP是△ABO的中位線，

∴HP＝OB＝1，

∴P點到H點的距離固定為1，

∴B在⊙O上運動一周，點P運動的路徑是以點H為圓心，半徑為1的一個圓；

（2）解：連接AO并延長AO交⊙O于點M、N，如圖2所示：

∵△ABC是等邊三角形，點P是線段AB的中點，

∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，

∴PC＝PA＝AB，

當(dāng)點B運動到點M位置時，點P運動到點P'位置，PC最短，

∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，

∴AP'＝AM＝，

∴PC＝；

當(dāng)點B運動到點N位置時，點P運動到點P'位置，PC最長，

∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，

∴AP'＝AN＝，

∴PC＝；

∴PC長的取值范圍是≤PC≤．