Question

【題目】在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．

①若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=2α，則 =_____（用含有α的式子表示）；

②固定△AOB，將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，PM最大值為_____．

Answer 1

【答案】2sinα

【解析】

（1）連接BM、CN，則BM⊥OA，CN⊥OD，由四點共圓的判定知點B、C、M、N在以BC為直徑的圓，且有MP=PN=BC÷2，而MN是△AOD的中位線，有MN等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM，而可求得△PMN∽△BAO，有MN：PN=AO：AB=2sinα，從而求得AD：BC的值；

（2）取BO中點G，連接PG，MG，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PG=OC=，GM=AB=1，利用三角形三邊的關系得PM≤GP+GM，所以當M，P，G共線的時候PM最大=1+1.5=2.5．

連接BM、CN．

∵AB=OB，M為OA的中點，∴BM⊥OA，∠AOB=∠COD=90°﹣α．同理CN⊥OD．

∵A、O、C三點在同一直線上，∴B、O、D三點也在同一直線上，∴∠BMC=∠CNB=90°．

∵P為BC中點，∴在Rt△BMC中，PM=BC．在Rt△BNC中，PN=BC，∴PM=PN，∴B、C、N、M四點都在以點P為圓心，BC為半徑的圓上，∴∠MPN=2∠MBN．

又∵∠MBN=∠ABO=α，∴∠MPN=∠ABO，∴△PMN∽△BAO，∴，由題意知MN=AD，PM=BC，∴，∴．在Rt△BMA中，sinα．

∵AO=2AM，∴=2sinα，∴=2sinα；

（2）取BO中點G，連接PG，MG，則PG=OC=，GM=AB=1，利用三角形三邊的關系得PM≤GP+GM，所以當M，P，G共線的時候PM最大=1+1.5=2.5．