【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,作CDAB,垂足為D,E為弧BC的中點,連接AE、BE,AECD于點F.

(1)求證:∠AEC=90°﹣2BAE;

(2)過點E作⊙O的切線,交DC的延長線于G,求證:EG=FG;

(3)在(2)的條件下,若BE=4,CF=6,求⊙O的半徑.

【答案】(1)(2)證明見解析;(3)O的半徑為10.

【解析】

連接AC、BC,先根據(jù)等弧得:CAE=BAE,則∠CAB=2BAE,再由直徑所對的圓周角為直角得:∠ACB=90°,直角三角形的兩銳角互余得:

CAB+CBA=90°,等量代換可得結(jié)論;

(2)如圖2,連接EO,設(shè)證明

(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,證明,由(2)得,則CMEG設(shè) 根據(jù)三角函數(shù)得: 列式求得x的值,在OBM中,設(shè)根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

證明:(1)如圖1,連接AC、BC,

∴∠CEA=CBA,

E的中點,

=,

∴∠CAE=BAE,

AB是直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB+CBA=90°,

2BAE+AEC=90°,

∴∠AEC=90°﹣2BAE

(2)如圖2,連接EO,

OA=OE,

∴∠OEA=OAE,

設(shè)∠OEA=OAE=α,

EG為切線,

OEEG

∴∠OEG=90°,

DGAB,

∴∠FDA=90°,

∴∠FAD+AFD=90°,

GE=GF

(3)如圖3,連接CE、CB、OEOC,CBAE交于點NCBOE交于點M,

E的中點,

∴∠COM=BOM,

OC=OB,

OMBC,

∴∠OMB=90°,

由(2)得∠GEM=90°,

CMEG

∴∠GEF=CNF,

∵∠GFE=GEF,

∴∠CFE=CNF

設(shè)

解得:(舍),

由勾股定理得:

OBM中,設(shè)

則⊙O的半徑為10.

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