Question

已知二次函數y=ax²+bx+3圖象的對稱軸為直線x=1．
（1）用含a的代數式表示b；
（2）若一次函數y=kx+5的圖象經過點A（4，1）及這個二次函數圖象的頂點，求二次函數y=ax²+bx+3的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點P（T，2T）在二次函數y=ax²+bx+3圖象上，則點P叫作圖象上的2倍點，求出這個二次函數圖象上的所有2倍點的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，得x=-=1，
∴b=-2a且a≠0；

（2）由直線y=kx+5過點A（4，1），
∴1=4k+5，解得k=-1，
∴y=-x+5，
設拋物線頂點坐標為（1，n），代入y=-x+5中，可得n=-1+5=4，
∴拋物線頂點坐標為（1，4），
代入y=ax²-2ax+3中，可得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（3）∵點P（T，2T）在拋物線上
∴2T=-T²+2T+3，
解得T=±，
∴這個拋物線上的2倍點有兩個，分別是（，2）和（-，-2）．
分析：（1）根據拋物線的直線方程x=-=1，即可求出b和a的關系；
（2）把A（4，1）代入一次函數y=kx+5即可求出k的值，設拋物線頂點坐標為（1，n），代入y=-x+5中，可得n=-1+5=4，所以拋物線頂點坐標為（1，4），代入y=ax²-2ax+3中，可得a=-1；
（3）因為P（T，2T）在二次函數y=ax²+bx+3圖象上，所以可代入求出符合題意的T值．
點評：本題考查了二次函數的性質運用和一次函數交點的問題，解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．