Question

如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是角平分線，ED⊥AB，垂足為D．求證：
（1）AE垂直平分CD；
（2）AB=AC+CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：（1）求出∠CAE=∠DAE，∠ACE=∠ADE=90°，根據(jù)AAS推出△ACE≌△ADE，根據(jù)全等得出AC=AD，DE=EC，根據(jù)等腰三角形的性質得出即可．
（2）求出BD=DE，由（1）得出AC=AD，CE=DE=BD，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵AE是角平分線，
∴∠CAE=∠DAE，
∵ED⊥AB，
∴∠ACE=∠ADE=90°，
在△ACE和△ADE中，

∠ACE=∠ADE ∠CAE=∠DAE AE=AE

，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AC=AD，DE=EC，
∵∠CAE=∠DAE，
∴AE垂直平分CD；

（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠DEB=∠B=45°，
∴BD=DE，
∵AC=AD，CE=DE=BD，
∴AB=AD+BD=AC+CE．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質的應用，能推出△ACE≌△ADE是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．