Question

7．已知：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，5），C（$\frac{20}{3}$，0），AOCD為矩形，AE垂直于對(duì)角線OD于E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連AF、OF．
（1）求AF和OF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，將△OAF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△OAF為△OA′F′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)A′F′所在的直線與線段AD交于點(diǎn)P，與線段OD交于點(diǎn)Q，是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用勾股定理和面積相等法結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)即可求解；
（2）畫(huà)出圖形，根據(jù)PQ=PD，PD=DQ結(jié)合平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等和角的等量代換，運(yùn)用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）如圖①

∵OA=5，AD=OC=$\frac{20}{3}$，
由勾股定理可求．OD=$\frac{25}{3}$，
∵AE×OD=AO×AD，
∴AE=4，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴AF=AE=4，OF=OE=3；
（2）如圖②

若PD=PQ，
易得∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，
∴∠3=∠A′，
∴OQ=OA′=5，
∴DQ=$\frac{10}{3}$，
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DQ，
∴$DH=\frac{1}{2}DQ=\frac{5}{3}$，
∵cos∠1=$\frac{4}{5}$，
∴DP=$\frac{25}{12}$，
∴AP=$\frac{55}{12}$，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{55}{12}$，5）；
如圖③

∵點(diǎn)P在線段AD上，
∴∠1＞∠PDQ，
∴QP，QD不會(huì)相等；
如圖③，
若DP=DQ，
易得，∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，
∴∠4=∠A′OQ，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=5-4=1，
∴OQ=$\sqrt{10}$，
∴DP=DQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$，
∴AP=AD-DP=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{3}$，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\sqrt{10}$-$\frac{5}{3}$，5）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換的綜合問(wèn)題，熟悉軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會(huì)針對(duì)等腰進(jìn)行分類討論，數(shù)練運(yùn)用勾股定理和角的等量代換是解題的關(guān)鍵．