Question

（本題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝2，OC＝4，⊙M與軸相切于點(diǎn)C，與軸交于A，B兩點(diǎn)，∠ACD＝90°，拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．

（1）求證：∠CAO＝∠CAD；

（2）求弦BD的長；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）8；（3）存在，符合條件的點(diǎn)P有四個，坐標(biāo)分別為，，，．

【解析】

試題分析：（1）利用切線的性質(zhì)得出∠MCO＝90°，進(jìn)而得出∠OCA＝∠MCD＝∠MDC，再利用∠OCA＋∠OAC＝90°求出即可；

（2）利用圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，首先得出四邊形COMN為矩形，進(jìn)而求出BD=2MN；

（3）分別利用當(dāng)CP=CB時，△PCB為等腰三角形，當(dāng)BP=BC時，△PCB為等腰三角形，利用勾股定理求出即可.

試題解析：（1）證明：如圖，連接MC，

∵⊙M與軸相切于點(diǎn)C，∴CM⊥OC，

∴∠MCO＝90°，

又∵∠ACD＝90°，

∴AD為⊙M的直徑，

∵DM＝CM, ∠ACD＋∠ADC＝90°，

∴∠MCD＝∠MDC，

∵∠OCA＋∠ACM＝∠OCM＝90°，

∴∠MCD＋∠ACM＝90°，

∴∠OCA＝∠MCD＝∠MDC，

∵∠OCA＋∠OAC＝90°，

∴∠OAC＝∠CAD；

（2）【解析】
如圖，過點(diǎn)M作MN⊥OB于點(diǎn)N，

由（1）可知，AD是⊙M的直徑，

∴∠ABD=90°，

∵M(jìn)N⊥AB, ∴∠MNA＝90°，

∴MN∥BD，

∴，

∵∠OCM＝∠CON＝∠MNO＝90°，

∴四邊形COMN為矩形，

∴MN=CO=4，

∴BD=2MN=8；

（3）【解析】
拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形．

在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC＝∠ABC，

由（1）知，∠ADC＝∠OCA，

∴∠OCA＝∠OBC，

在Rt△CAO和Rt△BOC中，tan∠OCA＝，

∴tan∠OBC＝，

∴OB=2OC=8，

∴A（2，0），B（8，0），

∵拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，

∴A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，其對稱軸為直線：；

當(dāng)CP=CB=5時，△PCB為等腰三角形，

在Rt△COB中，，

如圖，在Rt△CM中，80－25＝55，

∴,

∴，

同理可求的坐標(biāo)是，

當(dāng)BP=BC=5時，△PCB為等腰三角形，，

∴，

同理可得坐標(biāo)為，

∴符合條件的點(diǎn)P有四個，坐標(biāo)分別為，，，．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時，即對應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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