Question

13．如圖，在?ABCD中，AB=15，AC=20，AB⊥AC．點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作MP⊥AP，使點(diǎn)M與點(diǎn)B在直線AP的兩側(cè)，且∠PAM=∠CAD，連接MD．當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，BP的長是12.5或5或45．

Answer 1

分析 先由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明出△APM∽△ACD，則AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可得到△PAC∽△MAD，相似三角形的形狀相同，得出△APC為等腰三角形，再分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)；②點(diǎn)M在平行四邊形外；又分兩種情況：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延長線上．

解答 解：∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽R(shí)t△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD，
∴當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，△APC也為等腰三角形．
①當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)時(shí)，如圖1．點(diǎn)P只能在EC上．
∵∠APC為鈍角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=$\frac{1}{2}$BC=12.5，
即BP=12.5；
②當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形外時(shí)，
（i）若P在BC上，如圖2．點(diǎn)P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，則BP=5；
（ii）若P在BC的延長線上，如圖3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，則BP=45．
綜上可知，當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，BP的長為12.5或5或45．
故答案為：12.5或5或45．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．