Question

【題目】如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN，EF，M，N，E，F分別在邊AB，CD，AD，BC上．小明認(rèn)為：若MN＝EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為：若MN⊥EF，則MN＝EF.你認(rèn)為( )

A. 僅小明對(duì) B. 僅小亮對(duì) C. 兩人都對(duì) D. 兩人都不對(duì)

Answer 1

【答案】C

【解析】

分別過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)EF與MN相交于點(diǎn)O，MP與EF相交于點(diǎn)Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EG=MP；對(duì)于小明的說(shuō)法，先利用“HL”證明Rt△EFG≌Rt△MNP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MNP=∠EFG，再根據(jù)角的關(guān)系推出∠EQM=∠MNP，然后根據(jù)∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，從而得到∠MOQ=90°，根據(jù)垂直的定義即可證得MN⊥EF；對(duì)于小亮的說(shuō)法，先推出∠EQM=∠EFG，∠EQM=∠MNP，然后得到∠EFG=∠MNP，然后利用“角角邊”證明△EFG≌△MNP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=MN．

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)EF與MN相交于點(diǎn)O，MP與EF相交于點(diǎn)Q，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴EG=MP，

對(duì)于小明的說(shuō)法：

在Rt△EFG和Rt△MNP中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL），

∴∠MNP=∠EFG，

∵MP⊥CD，∠C=90°，

∴MP∥BC，

∴∠EQM=∠EFG=∠MNP，

又∵∠MNP+∠NMP=90°，

∴∠EQM+∠NMP=90°，

在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°，

∴MN⊥EF，

故甲正確．

對(duì)小亮的說(shuō)法：

∵MP⊥CD，∠C=90°，

∴MP∥BC，

∴∠EQM=∠EFG，

∵MN⊥EF，

∴∠NMP+∠EQM=90°，

又∵MP⊥CD，

∴∠NMP+∠MNP=90°，

∴∠EQM=∠MNP，

∴∠EFG=∠MNP，

在△EFG和△MNP中，

，

∴△EFG≌△MNP（AAS），

∴MN=EF，故小亮的說(shuō)法正確，

綜上所述，兩個(gè)人的說(shuō)法都正確．

故選C．