Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，取AB中點(diǎn)M，將線段AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AN，連接ON、BN，ON與AB所在直線交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，t）
（1）當(dāng)t＞0時(shí)，用t的代數(shù)式表示點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△OBN的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在點(diǎn)B，使得△ABN與△ANP相似？若存在，求出符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過N作NC⊥x軸于C，先根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似證出△ANC∽△BAO，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出AB：AN=OA：CN=OB：AC，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）由于點(diǎn)B是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且t=-4時(shí)，N在y軸上，所以分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)t≥0時(shí)，②當(dāng)-4≤t＜0時(shí)，③當(dāng)t＜-4時(shí)，針對(duì)每一種情況，先用含t的代數(shù)式分別表示OB、OC，再根據(jù)S=

1

2

×OB×OC，即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)B，使得△ABN與△ANP相似．如圖1，當(dāng)△ABN∽△ANP時(shí)，得出AB：AN=AN：AP，則AP=

1

4

AB．過點(diǎn)P作PD⊥OA于D，則PD∥OB，△APD∽△ABO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出PD=

1

4

t，AD=

1

2

，由PD∥NC，△OPD∽△ONC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出PD：NC=OD：OC，從而得到關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）過N作NC⊥x軸于C，
∴∠NCA=∠AOB=90°，
∴∠NAC+∠ANC=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：∠NAB=90°，AN=AM，
∴∠NAC+∠BAO=90°，
∴∠ANC=∠BAO，
∴△ANC∽△BAO，
∴AB：AN=OA：CN=OB：AC，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，t），
∴OA=2，OB=t，
∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，
∴AM=AN=

1

2

AB，
∴2：CN=2：1=t：AC，
∴CN=1，AC=

t

2

，
∴OC=OA+AC=2+

t

2

，
∴N（2+

t

2

，1）；

（2）分三種情況：
①當(dāng)t≥0時(shí)，如圖1．
S=

1

2

OB•OC=

1

2

×t×（2+

t

2

）=

1

4

t²+t；
②當(dāng)-4≤t＜0時(shí)，如圖2．
由（1）可得：CN=1，AC=|

t

2

|=-

t

2

，
∴OC=OA-AC=2+

t

2

，
∴S=

1

2

×OB×OC=

1

2

（-t）（2+

t

2

）=-

1

4

t²-t；
③當(dāng)t＜-4時(shí)，如圖3．
由（1）可得：CN=1，AC=|

t

2

|=-

t

2

，
∴OC=AC-OA=-

t

2

-2，
∴S=

1

2

×OB×OC=

1

2

（-t）（-

t

2

-2）=

1

4

t²+t；
       
（3）存在點(diǎn)B（0，2），使得△ABN與△ANP相似．理由如下：
如圖1，當(dāng)△ABN∽△ANP時(shí)，AB：AN=AN：AP，
∵AN=AM=

1

2

AB，
∴AP=

1

2

AN=

1

4

AB．
過點(diǎn)P作PD⊥OA于D，則PD∥OB，
∴△APD∽△ABO，
∴PD：BO=AD：AO=AP：AB=1：4，
∴PD=

1

4

OB=

1

4

t，AD=

1

4

OA=

1

2

．
∵PD∥NC，
∴△OPD∽△ONC，
∴PD：NC=OD：OC，
∴

1

4

t：1=

3

2

：（2+

t

2

），
∴

1

4

t（2+

t

2

）=

3

2

，
整理，得t²+4t-12=0，
解得t₁=2，t₂=-6（不合題意舍去）．
當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．
故存在點(diǎn)B（0，2），使得△ABN與△ANP相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，運(yùn)用分類討論的思想解答問題，本題還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要作用．