Question

已知：如圖①，在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)．過O的直線MN交直線AB于點(diǎn)M，交直線CD于點(diǎn)N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q，連接PN、MQ．

（1）試證明△PON與△QOM全等；
（2）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則△PON與△QOM又有怎樣的關(guān)系？試就點(diǎn)O在圖②所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；
（3）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），設(shè)OD：OB=k，PN=x，MQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)容易得到全等條件證明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到PO=QO，MO=NO，然后再證明△PON≌△QOM就可以解決問題；
（2）點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)，則△MOQ∽△NOP．根據(jù)AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例線段，而∠NOP=∠MOQ，可以證明△MOQ∽△NOP了；
（3）根據(jù)（2）和已知可以得到，根據(jù)這個(gè)等式可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO．
∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，
∴△DOP≌△BOQ．
∴PO=QO．（2分）
同理MO=NO．
∵∠PON=∠QOM，
∴△PON≌△QOM．（4分）

（2）解：畫圖．（5分）
△MOQ∽△NOP．（6分）
∵AP∥BQ，BM∥CN，
∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．
∴OP：OQ=ON：OM．（7分）
∴∠NOP=∠MOQ．
∴△MOQ∽△NOP．（8分）

（3）解：根據(jù)（2）和已知可以得到，
∴y=．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把全等三角形，相似三角形放在平行四邊形的背景下，綜合利用這些知識(shí)來解題．