Question

5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AM與BN交于點(diǎn)P，且BM=AC，AN=CM，△EMC是等腰直角三角形，
（1）求證：四邊形MENA是平行四邊形；
（2）求∠BPM的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）首先證明AC∥ME，再證明AN=ME，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）連接BE，首先證明△BEM≌△AMC，可得∠4=∠AMC，BE=AM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NE=AM，∠2=∠1，AM∥EN，然后可證明△BEN為等腰直角三角形，得到∠BNE=45°，進(jìn)而可得∠3=∠BPM=45°．

解答 （1）證明：∵△EMC是等腰直角三角形，
∴MC=ME，∠CME=90°，
∵∠C=90°，
∴AC∥ME，
∵AN=CM，
∴AN=ME，
∴四邊形MENA是平行四邊形；

（2）解：連接BE，
∵四邊形AMEN為平行四邊形，
∴NE=AM，∠2=∠1，AM∥EN，
∴∠3=∠BPM，
在△BEM和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=ME}\\{∠ACM=∠BME=90°}\\{MB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△AMC（SAS），
∴∠4=∠AMC，BE=AM，
∵∠2+∠AMC=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵NE=AM，BE=AM，
∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE=45°，
∴∠BPM=∠3=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造出全等三角形，掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等．