Question

（1999•天津）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B（x₁，0）、C（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)D，且x₁²+x₂²=13．試問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POB與△DOC相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出過(guò)P、B兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：需注意的是，由于本題沒(méi)有明確B、C的位置關(guān)系，所以要分類(lèi)討論；由于B、C是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；根據(jù)韋達(dá)定理即可求出兩個(gè)橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)而可根據(jù)x₁²+x₂²=13求出第一個(gè)關(guān)于拋物線(xiàn)系數(shù)的等量關(guān)系式；將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，可得到第二個(gè)關(guān)于拋物線(xiàn)系數(shù)的等量關(guān)系式；再聯(lián)立拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程，即可求出待定系數(shù)的值，由此可確定拋物線(xiàn)的解析式，進(jìn)而可求出拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)拋物線(xiàn)上存在符合條件的P點(diǎn)，使得△POB與△DOC相似，由于這兩個(gè)三角形中，∠POB=∠DOC=90°，所以要考慮到兩種情況：①△POB∽△DOC，②△POB∽△COD；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同比例線(xiàn)段，可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BP的解析式．
解答：解：∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（x₁，0），C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=；
又∵x₁²+x₂²=13，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（-）²-2•=13，①
4a+2b+c=4，②
-=．③
解由①、②、③組成的方程組，
得a=-1，b=1，c=6；
∴y=-x²+x+6；（2分）
與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），（3分）
與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，6）；（4分）
設(shè)y軸上存在點(diǎn)P，使得△POB∽△DOC，則
（1）當(dāng)B（-2，0），C（3，0），D（0，6）時(shí)，
有，OB=2，OC=3，OD=6；
∴OP=4；即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；
當(dāng)P坐標(biāo)為（0，4）時(shí)，可設(shè)過(guò)P、B兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式為y=kx+4，
有0=2k+4，得k=2；
∴y=2x+4；（4.5分）
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）時(shí)，可設(shè)過(guò)P、B兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式為y=kx-4；
有0=-2k-4，
得k=-2；
∴y=-2x-4（5分）
或，OB=2，OD=6，OC=3
∴OP=1，這時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）；
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，可設(shè)過(guò)P、B兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式為y=kx+1；
有0=-2k+1，
得k=．
∴y=x+1（5.5分）
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，可設(shè)過(guò)P、B兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式為y=kx-1；
有0=-2k-1，
得k=-；（6分）
∴y=-x-1；
（2）當(dāng)B（3，0），C（-2，0），D（0，6）時(shí)，同理可得
y=-3x+9（6.5分）
或y=3x-9（7分）
或y=-x+1（7.5）
或y=x-1．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，要注意的是在遇到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確的情況下，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．