【題目】已知:直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線y=x2+bx+c經過點A、B,且交x軸于點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P為拋物線上一點,且點P在AB的下方,設點P的橫坐標為m.

試求當m為何值時,PAB的面積最大;

PAB的面積最大時,過點P作x軸的垂線PD,垂足為點D,問在直線PD上否存在點Q,使QBC為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的Q的坐標若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2x﹣3;(2)①當m=3時,PAB的面積最大,最大值是9,②在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使QBC為直角三角形.

【解析】

(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)①過點PPDx軸于D,交AB于點E,設點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m, m2m﹣3),點E的坐標為(m, m﹣3),進而可得出PE的長度,再利用三角形的面積公式即可得出SPAB=﹣m2+6m,利用配方法即可解決最值問題;

②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,設點Q的坐標為(3,y),則CQ2=(2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2,分∠QCB=90°、CBQ=90°及∠CQB=90°三種情況,利用勾股定理即可得出關于y的方程,解之即可得出結論.

(1)∵直線y=x﹣3x軸、y軸分別交于點A、B,

∴點A的坐標為(6,0),點B的坐標為(0,﹣3).

A(6,0)、B(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,得:

,解得:

∴拋物線的解析式為y=x2x﹣3.

(2)①過點PPDx軸于D,交AB于點E,如圖1所示.

設點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m,m2m﹣3),點E的坐標為(m,m﹣3),

PE=m﹣3﹣(m2m﹣3)=﹣m2+2m,

SPAB=×PE×(AD+DO)=×(﹣m2+2m)×6=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,

∴當m=3時,PAB的面積最大,最大值是9.

②當y=0時,有x2x﹣3=0,

解得:x1=﹣,x2=6,

∴點C的坐標為(﹣,0).

設點Q的坐標為(3,y),

CQ2=(2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2

當∠QCB=90°時,有CQ2+BC2=BQ2

即(2+y2+9+=9+(y+3)2,

解得:y=;

當∠CBQ=90°時,有BC2+BQ2=CQ2,

9++9+(y+3)2=(2+y2

解得:y=﹣;

當∠CQB=90°時,有BQ2+CQ2=BC2,

即(2+y2+9+(y+3)2=9+,

方程無解.

綜上所示:在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使QBC為直角三角形.

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時間/分

頻數(shù)

頻率

30~40

25

0.05

40~50

50

0.10

50~60

75

b

60~70

a

0.40

70~80

150

0.30

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