【題目】已知:直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B,且交x軸于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為拋物線上一點,且點P在AB的下方,設(shè)點P的橫坐標為m.
①試求當(dāng)m為何值時,△PAB的面積最大;
②當(dāng)△PAB的面積最大時,過點P作x軸的垂線PD,垂足為點D,問在直線PD上否存在點Q,使△QBC為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的Q的坐標若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)①當(dāng)m=3時,△PAB的面積最大,最大值是9,②在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使△QBC為直角三角形.
【解析】
(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)①過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E,設(shè)點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m, m2﹣m﹣3),點E的坐標為(m, m﹣3),進而可得出PE的長度,再利用三角形的面積公式即可得出S△PAB=﹣m2+6m,利用配方法即可解決最值問題;
②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,設(shè)點Q的坐標為(3,y),則CQ2=()2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2,分∠QCB=90°、∠CBQ=90°及∠CQB=90°三種情況,利用勾股定理即可得出關(guān)于y的方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)∵直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,
∴點A的坐標為(6,0),點B的坐標為(0,﹣3).
將A(6,0)、B(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3.
(2)①過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E,如圖1所示.
設(shè)點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m,m2﹣m﹣3),點E的坐標為(m,m﹣3),
∴PE=m﹣3﹣(m2﹣m﹣3)=﹣m2+2m,
∴S△PAB=×PE×(AD+DO)=×(﹣m2+2m)×6=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,
∴當(dāng)m=3時,△PAB的面積最大,最大值是9.
②當(dāng)y=0時,有x2﹣x﹣3=0,
解得:x1=﹣,x2=6,
∴點C的坐標為(﹣,0).
設(shè)點Q的坐標為(3,y),
則CQ2=()2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2.
當(dāng)∠QCB=90°時,有CQ2+BC2=BQ2,
即()2+y2+9+=9+(y+3)2,
解得:y=;
當(dāng)∠CBQ=90°時,有BC2+BQ2=CQ2,
即9++9+(y+3)2=()2+y2,
解得:y=﹣;
當(dāng)∠CQB=90°時,有BQ2+CQ2=BC2,
即()2+y2+9+(y+3)2=9+,
方程無解.
綜上所示:在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使△QBC為直角三角形.
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【題目】小紅爸爸從家騎電瓶車出發(fā),沿一條直路到相距2400m的學(xué)校接小紅回家,小紅爸爸出發(fā)的同時,小紅以96m/min的速度從學(xué)校沿同一條道路步行回家,小紅爸爸趕到學(xué)校校門口等候2min后知道小紅已離校,立即沿原路以原速返回,設(shè)他們出發(fā)的時間為t min,圖示中的折線OABD表示小紅爸爸與家之間的距離S1與t之間的函數(shù)關(guān)系,線段EF表示小紅與家之間的距離S2與t之間的函數(shù)關(guān)系,則小紅爸爸從家出發(fā)在返回途中追上小紅的時間是( )
A.12minB.16minC.18minD.20min
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,.
(1)求代數(shù)式mn的值;
(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B,求代數(shù)式的值;
(3)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象只有一個交點,且該交點在直線的下方,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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【題目】閱讀:
對于兩個不等的非零實數(shù).若分式的值為零,則或又因為.所以關(guān)于的方程有兩個根分別為.
應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題:
(1)方程的兩個解中較小的一個為 .
(2)關(guān)于解的方程,首先我們兩邊同加成,則 或 ,兩個解分別為, 則 , .
(3)關(guān)于的方程的兩個解分別為,求的值.
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【題目】為了解某市區(qū)九年級學(xué)生每天的健身活動情況,隨機從市區(qū)九年級的12000名學(xué)生中抽取了500名學(xué)生,對這些學(xué)生每天的健身活動時間進行統(tǒng)計整理,作出了如下不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)含最小值不含最大值,統(tǒng)計數(shù)據(jù)全部為整數(shù)),請根據(jù)以下信息解答如下問題:
時間/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
30~40 | 25 | 0.05 |
40~50 | 50 | 0.10 |
50~60 | 75 | b |
60~70 | a | 0.40 |
70~80 | 150 | 0.30 |
(1)a=_______,b=_______;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)學(xué)生每天健身時間的中位數(shù)會落在哪個時間段?
(4)若每天健身時間在60分鐘以上為符合每天“陽光一小時”的規(guī)定,則符合規(guī)定的學(xué)生人數(shù)大約是多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】港在地的正南千米處,一艘輪船由港開出向西航行,某人第一次在處望見該船在南偏西,半小時后,又望見該船在南偏西,則該船速度為________千米/小時.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市預(yù)測某飲料會暢銷、先用1800元購進一批這種飲料,面市后果然供不應(yīng)求,又用8100元購進這種飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若兩次進飲料都按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于2700元,那么銷售單價至少為多少元?
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【題目】如圖所示,點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且PA=6,PB=8,PC=10,若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后,得到△P′AB,則∠APB等于( )
A.150° B.105° C.120° D.90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 A 時測得某樹(垂直于地面)的影長為 4 米,B 時又測得該樹的影長為 16 米,若兩次日 照的光線互相垂直,則樹的高度為_____米.
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