【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,M是OA上一點(diǎn),過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N,交BC的延長線于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,若∠BAC=30°,且∠ECF=∠E.
(1)試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)設(shè)⊙O的半徑為2,且AC=CE,求AM的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)3﹣.
【解析】
(1)要證CF為⊙O的切線,只要證明∠OCF=90°即可;
(2)根據(jù)三角函數(shù)求得AC的長,從而可求得BE的長,再利用三角函數(shù)可求出MB的值,從而可得到MO的長,進(jìn)而得出AM.
(1)證明:如圖,連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°;
在Rt△EMB中,∵∠E+∠MBE=90°,
∴∠E=30°;
∵∠E=∠ECF,
∴∠ECF=30°,
∴∠ECF+∠OCB=90°;
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°,
∴∠OCF=90°,
∴CF為⊙O的切線;
(2)在Rt△ACB中,∠A=30°,∠ACB=90°,
∴AC=ABcos30°=2,BC=ABsin30°=2;
∵AC=CE,
∴BE=BC+CE=2+2,在Rt△EMB中,∠E=30°,∠BME=90°,
∴MB=BEsin30°=1+,
∴MO=MB﹣OB=-1.
∴AM=2﹣+1=3﹣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l是第一、三象限的角平分線.
實(shí)驗(yàn)與探究:
(1)由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2,0),請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)、C(﹣2,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′、C′的位置,并寫出他們的坐標(biāo):B′ 、C′ ;
歸納與發(fā)現(xiàn):
(2)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo),你會發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 ;
運(yùn)用與拓廣:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)四點(diǎn)在一條直線上,,.老師說:再添加一個(gè)條件就可以使.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言,甲說:添加;乙說:添加;丙說:添加.
(1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說法正確的是________
(2)請你從正確的說法中選擇一種,給出你的證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四邊形ABCD的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)請直接寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(2)寫出從線段AB到線段CD的變換過程;
(3)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖①,在直角三角形中,,于點(diǎn),可知(不需要證明);
(1)探究:如圖②,,射線在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)、在的邊、上,且,于點(diǎn),于點(diǎn).證明:;
(2)證明:如圖③,點(diǎn)、在的邊、上,點(diǎn)、在內(nèi)部的射線上,、分別是、的外角。已知,.求證:;
(3)應(yīng)用:如圖④,在中,,.點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)、在線段上,.若的面積為15,則與的面積之和為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把拋物線y=x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0)和原點(diǎn)O(0,0),它的頂點(diǎn)為P,它的對稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q,則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,足球場上守門員在O處開出一高球,球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上),運(yùn)動員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M,距地面約4米高,球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn)測算,足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同,最大高度減少到原來最大高度的一半.
(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí),該拋物線的表達(dá)式.
(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米?(取)
(3)運(yùn)動員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D,他應(yīng)再向前跑多少米?(取)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元,在整個(gè)銷售旺季的80天里,銷售單價(jià)p(元/千克)與時(shí)間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系為:
p=,日銷售量y(千克)與時(shí)間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求日銷售量y與時(shí)間t的函數(shù)解析式;
(2)哪一天的日銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2 400元?
(4)在實(shí)際銷售的前40天中,該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦,就捐贈m(m<7)元給村里的特困戶.在這前40天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時(shí)間t的增大而增大,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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