已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.
(2)如圖1,求AF的長(zhǎng).
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①問在運(yùn)動(dòng)的過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度;若不可能,請(qǐng)說明理由.
②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.
分析:(1)證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可;
(2)設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程,求出即可;
(3)①只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,求出時(shí)間t,即可求出答案;②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,
∵AC的垂直平分線EF,
∴AO=OC,AC⊥EF,
在△AEO和△CFO中
∠AEO=∠CFO
∠AOE=∠COF
AO=OC
,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵AC⊥EF,
∴平行四邊形AECF是菱形;

(2)解:設(shè)AF=acm,
∵四邊形AECF是菱形,
∴AF=CF=acm,
∵BC=8cm,
∴BF=(8-a)cm,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:42+(8-a)2=a2,
a=5,
即AF=5cm;

(3)解:①在運(yùn)動(dòng)過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,
只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是:(5+3)÷1=8,
Q的速度是:4÷8=0.5,
即Q的速度是0.5cm/s;
②分為三種情況:第一、P在AF上,
∵P的速度是1cm/s,而Q的速度是0.8cm/s,
∴Q只能再CD上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;
第二、當(dāng)P在BF上時(shí),Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時(shí),當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,
∵AQ=8-(0.8t-4),CP=5+(t-5),
∴8-(0.8t-4)=5+(t-5),
t=
20
3
,
第三情況:當(dāng)P在AB上時(shí),Q在DE或CE上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;
即t=
20
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定和性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,用了方程思想,分類討論思想.
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已知:矩形ABCD中,AB=1,點(diǎn)M在對(duì)角線AC上,直線l過點(diǎn)M且與AC垂直,與AD相交于點(diǎn)E.
(1)如果直線l與邊BC相交于點(diǎn)H(如圖1)AM=
1
3
AC且AD=a,求的AE長(zhǎng)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)在(1)中,直線l把矩形分成兩部分的面積比為2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直線l經(jīng)過點(diǎn)B(如圖2),求AD的長(zhǎng);
(4)如果直線l分別與邊AD,AB相交于點(diǎn)E,F(xiàn),AM=
1
4
AC,設(shè)AD的長(zhǎng)為x,△AEF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍(求x的取值范圍可不寫過程).精英家教網(wǎng)

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12
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