Question

已知二次函數的圖象經過點A（1，0）且與直線y=x+3相交于B、C兩點，點B在x軸上，點C在y軸上．
（1）求二次函數的解析式及函數的頂點坐標
（2）如果P（ x，y）是線段BC上的動點，O為坐標原點，試求△PAB的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量取值范圍．

Answer 1

解：（1）設所求函數是y=ax²+bx+c，則
當x=0時，y=3，當y=0時，x=-4，
故二次函數經過點A（1，0），B（-4，0），C（0，3），
把此三點代入函數可得
，
解得
，
故函數解析式是y=-x²-x+3；
（2）∵點P在BC上，故y=x+3，
即△PAB的高就是y，
那么S_△PAB=AB×y=×5×（x+3）=x+（-4≤x≤1）．
分析：（1）先設所求函數是y=ax²+bx+c，由于二次函數易一次函數的交于點B和C，且點B在x軸上，點C在y軸上，結合一次函數解析式，易求B、C，再把A、B、C三點坐標代入二次函數中，得到關于abc的三元一次方程組，解即可求二次函數解析式；
（2）由于P點在BC上，故知△PAB的高就是一次函數中的y，結合三角形的面積公式易求△PAB的面積，進而可求x的取值范圍．
點評：本題考查了待定系數法求函數解析式、一次函數的性質、三角形的面積，解題的關鍵是先求出函數解析式，并能畫出圖形，理解BC就是一次函數上的一部分．