Question

如圖，以矩形ABCD的邊AO，CO所在直線建立坐標(biāo)系，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

3

，1），將矩形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形DEFO位置，使點(diǎn)B恰好落在y軸上的點(diǎn)E處，設(shè)BC，DO的交點(diǎn)為Q．
（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若雙曲線y=

k

x

（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)Q，那么它是否經(jīng)過矩形ABCO的對(duì)稱中心M？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）易證△OCQ∽△ODE，只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出QC，就可解決問題；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法可求出雙曲線的解析式，然后只需求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入雙曲線的解析式進(jìn)行驗(yàn)證，就可解決問題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，B（-

3

，1），
∴∠BAO=∠OCB=90°，AO=

3

，AB=1．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
OD=OA=

3

，DE=AB=1，∠EDO=∠BAO=90°．
∵∠COQ=∠DOE，∠QCO=∠EDO=90°，
∴△OCQ∽△ODE，
∴

CQ

DE

=

OC

OD

，
∴

CQ

1

=

1

3

，
解得：CQ=

3

3

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

3

3

，1）；

（2）雙曲線y=

k

x

（x＜0）不經(jīng)過矩形ABCO的對(duì)稱中心M．
理由：∵雙曲線y=

k

x

（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)Q，
∴k=-

3

3

×1=-

3

3

，
∴雙曲線的解析式為y=-

3

3x

（x＜0）．
∵矩形ABCO的對(duì)稱中心為M，∴點(diǎn)M是OB的中點(diǎn)．
∵B（-

3

，1），∴M（-

3

2

，

1

2

），
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y=-

3

3×(- 3 2 )

=

2

3

≠

1

2

，
∴點(diǎn)M不在雙曲線y=-

3

3x

（x＜0）上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求雙曲線的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，有一定的綜合性，需要注意的是：根據(jù)線段長度求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，要根據(jù)該點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置確定橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）的符號(hào)．