Question

【題目】如圖，菱形ABCD，∠D＝60°，△ABC內接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F，DC的延長線交AE的延長線于點G．

（1）求證：DG與⊙O相切；

（2）連接DF，求tan∠FDC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)菱形的性質得到△ACD是等邊三角形，推出△ACB是⊙O的內接正邊三角形，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；

（2）作FH⊥DG，垂足為H，設AB＝x，∠DCA＝∠BCA＝60°，得到∠BCG＝60°，解直角三角形即可得到結論．

（1）連接OC，四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D＝60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ACD是等邊三角形，△ABC是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，∠BAC=60°，

∴△ACB是⊙O的內接正三角形，

∵AE 是⊙O的直徑，

∴點O為三角形ABC的外心，

∴AF垂直平分BC,

∴∠FAC＝∠OCA=30°，

∴∠ACD+∠OCA＝90°，

∴DG是⊙O的切線；

（2）解：作FH⊥DG，垂足為H，

設AB＝x，∠DCA＝∠BCA＝60°，

∴∠BCG＝60°，∠G=30°，，

∴，

∴，

DH，

∴．