Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的三角形紙片，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，OB=2

3

，∠OAB=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BE．
（1）求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、D、A三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DF⊥OA，垂足為F，由圖形折疊的性質(zhì)可知△BOE≌△BDE，在直角三角形OAB中，OB=2

3

，∠OAB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形全等及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可知∠BEO=60°，BD=

1

2

AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及三角形中位線定理即可求出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由（1）可知A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，O為原點(diǎn)，根據(jù)此特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)的解析式，把A、D兩點(diǎn)分別代入即可求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出其解析式．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥OA，垂足為F，因?yàn)镽t△AOB沿BE折疊時(shí)，OB邊落在AB邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，
所以，∠OBE=∠DBE，OB=DB（1分）．
由Rt△AOB中，∠OAB=30°，
得∠ABO=60°，
且OA=OBcot30°=6，
得點(diǎn)A（6，0）（1分）．
在Rt△AOB中，由∠OBE=30°，得OE=2，得點(diǎn)E（2，0）（1分）；
Rt△AOB中，由∠OAB=30°得AB=2OB=2DB，
所以D是AB的中點(diǎn)，
得DF=

1

2

OB=

3

，OF=

1

2

OA=3，
得點(diǎn)D（3，

3

）（2分）．

（2）設(shè)經(jīng)過O、D、A三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式為y=ax²+bx．
把A（6，0），D（3，

3

））入y=ax²+bx，
得

36a+6b=0 9a+3b= 3

．（2分）
解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

．（2分）
所以，經(jīng)過O、D、A三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式為y=

- 3

9

x²+

2 3

3

x（1分）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圖形折疊及直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，難度不大，但有一定的綜合性，是一道好題．