Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上，OB=

3

，∠BAO=30度．將Rt△AOB折疊，使BO邊落在BA邊上，點O與點D重合，折痕為BC．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經過B，C，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；若拋物線的頂點為M，試判斷點M是否在直線BC上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得∠OBC=∠DBC=30°，進而在Rt△COB可得C的坐標，又有B的坐標；進而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的長，即可得A的坐標；將ABC的坐標代入解析式方程可得abc的值，進而可得拋物線的解析式；將M的坐標代入判斷其是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵∠OBC=∠DBC=

1

2

∠OBA=

1

2

×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1
∴點C的坐標為（1，0）（2分）
又點B的坐標為（0，

3

）
∴設直線BC的解析式為y=kx+

3

∴0=k+

3

，
∴k=-

3

則直線BC的解析式為：y=-

3

x+

3

；（4分）

（2）∵在Rt△AOB中，OA=

OB

tan30°

=

3

÷

3

3

=3
∴A（3，0），
又∵B（0，

3

），C（1，0）
∴

0=9a+3b+c 3 =c 0=a+b+c

（7分）
解之得：a=

3

3

，b=-

4

3

3

，c=

3

∴所求拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

4

3

3

x+

3

（8分）
配方得：y=

3

3

（x-2）²-

3

3

∴頂點為M(2，-

3

3

)（9分）
把x=2代入y=-

3

x+

3

，得：y=-

3

≠-

3

3

，
∴頂點M不在直線BC上．（10分）

點評：本題考查學生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．