【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB,垂足為E,射線EP交于點(diǎn)F,交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D

(1)求證:DC=DP;

(2)若∠CAB=30°,當(dāng)F是的中點(diǎn)時(shí),判斷以A,O,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形?說(shuō)明理由

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)以A,O,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【解析】

試題分析:(1)連接BC、OC,利用圓周角定理和切線的性質(zhì)可得∠B=∠ACD,由PE⊥AB,易得∠APE=∠DPC=∠B,等量代換可得∠DPC=∠ACD,可證得結(jié)論;

(2)由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形,可得∠AOC=120°,由F是的中點(diǎn),易得△AOF與△COF均為等邊三角形,可得AF=AO=OC=CF,易得以A,O,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

試題解析:(1)連接BC、OC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠OCD=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°,∵∠OCA=∠OAC,∠B=∠OCB,∴∠OAC+∠B=90°,∵CD為切線,∴∠OCD=90°,∴∠OCA+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD,∵PE⊥AB,∴∠APE=∠DPC=∠B,∴∠DPC=∠ACD,∴AP=DC;

(2)以A,O,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.理由如下:

∵∠CAB=30°,∴∠B=60°,∴△OBC為等邊三角形,∴∠AOC=120°,連接OF,AF,∵F是的中點(diǎn),∴∠AOF=∠COF=60°,∴△AOF與△COF均為等邊三角形,∴AF=AO=OC=CF,∴四邊形OACF為菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1+3+5+7+9=25=52;

(1)請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+19=

(2)請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n +1)+(2n +3)=

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下面我們對(duì)公式②進(jìn)行變形:

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