Question

已知：如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析：以BP邊作等邊三角形BPD，連接AD，根據(jù)等邊三角形的每一個角都等于60°推出∠ABD=∠CBP，然后利用邊角邊證明△ABD與△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CP=1，對應(yīng)角相等可得∠BPC=∠BDA，再利用勾股定理逆定理證明△ADP是∠ADP=90°的直角三角形，從而求出∠ADB的度數(shù)，即∠BPC的度數(shù)．

解答：解：以BP為邊作等邊三角形BPD，連接AD，
則BD=BP=DP=

3

，∠DBP=∠BDP=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵∠ABD+∠ABP=∠CBP+∠ABP=60°，
∴∠ABD=∠CBP，
在△ABD與△CBP中，

AB=BC ∠ABD=∠CBP BD=BP

，
∴△ABD≌△CBP（SAS），----------------------------（3分）
∴∠BPC=∠BDA，AD=PC=1，
在△ADP中，∵PA=2，PD=

3

，AD=1，
∴AP²=DP²+AD²，
∴△APD是直角三角形，---------------------------（4分）
∴∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°，
∴∠BPC=150°．-----------------------------------（5分）

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，勾股定理逆定理，作出輔助線，把PA、PB、PC的長度轉(zhuǎn)化為一個三角形三條邊，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．