Question

已知：如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)C與A、B點(diǎn)不重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD和CE相交于點(diǎn)N．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）如果AB的長為10cm，MN=ycm，AC=xcm．
①請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．
②當(dāng)點(diǎn)C在何處時(shí)MN的長度最長？并求MN的最大長度．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)△ACD和△BCE是等邊三角形可得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，故可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，由SAS定理即可得出結(jié)論；
（2）①由（1）中的結(jié)論得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形可得出MN∥AB，可先假設(shè)其存在，設(shè)AC=x，MN=y，進(jìn)而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論；
②由①中y與x的函數(shù)關(guān)系式可直接得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE與△DCB中，
∵

AC=CD ∠DCB=∠ACE BC=CE

，
∴△ACE≌△DCB；

（2）①∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
∴

MN

AC

=

EN

EC

，
∵AB的長為10cm，MN=ycm，AC=xcm．
∴

y

x

=

10-x-y

10-x

，即y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10）；

②∵由①可知，y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10），即y=-

1

10

（x-5）²+2.5；
∴當(dāng)x=5時(shí)，MN的值最大，MN的最大長度為2.5cm，即當(dāng)C點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí)，線段MN的最大長度是2.5cm．

點(diǎn)評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題，涉及面較廣，難度適中．