Question

19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點E在BC上，點F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點B與點D重合．如果$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，那么$\frac{AF}{BF}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)對稱的性質(zhì)得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根據(jù)已知條件得到∠DEB=90°，設(shè)AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GE=AD=1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=EC=1.5，根據(jù)勾股定理得到AB=CD=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=5$\sqrt{34}$，通過△BDC∽△DEF，得到$\frac{DF}{CD}=\frac{DE}{BC}$，求出BF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵EF是點B、D的對稱軸，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴設(shè)AD=1，BC=4，
過A作AG⊥BC于G，
∴四邊形AGED是矩形．
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5
∴AB=CD=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=5$\sqrt{34}$，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，
∵∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
∴DF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，
∴BF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，
∴AF=AB-BF=$\frac{15\sqrt{34}}{8}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{5}$．
故選B．

點評 此題考查等腰梯形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，注意結(jié)合圖形，作出常用輔助線解決問題．