Question

已知在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E，F(xiàn)，G分別是邊BC，AB，AC的中點，求證：∠FEG=∠FDG=∠BAC．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,直角三角形斜邊上的中線,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得GE∥AB，F(xiàn)E∥AC，然后判斷出四邊形AFEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠FEG=∠BAC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半DF=AF，DG=AG，根據(jù)等邊對等角可得∠FDA=∠FAD，∠GDA=∠GAD，然后求出∠FDG=∠BAC，再等量代換即可得證．

解答：證明：∵E，F(xiàn)，G分別是邊BC，AB，AC的中點，
∴GE∥AB，F(xiàn)E∥AC（三角形中位線定理），
∴四邊形AFEG是平行四邊形，
∴∠FEG=∠BAC，
又∵AD垂直于BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵F，G分別是AB，AC的中點，
∴DF=AF，DG=AG（直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠FDA=∠FAD，∠GDA=∠GAD，
∴∠FDA+∠GDA=∠FAD+∠GAD，
即：∠FDG=∠BAC，
∴∠FEG=∠FDG=∠BAC．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．