Question

如圖，已知O為原點，點A的坐標為（5.5，4），⊙A的半徑為2．過A作直線l平行于x軸，交y軸于點B，點P在直線l上運動．
（1）當(dāng)點P在圓上時，寫出點P的坐標；
（2）設(shè)點P的橫坐標為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點P的橫坐標為a，請你求出當(dāng)直線OP與⊙A相切時a的值（參考數(shù)據(jù)：≈3.162，=26）

Answer 1

解：（1）P的坐標為（3.5，4）或（7.5，4）；…

（2）直線OP與⊙A相離．理由如下：
作AD⊥OP于D，如圖所示：
可得∠ADP=90°，
又∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，又∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，…
又PA=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=12，
根據(jù)勾股定理得：OP==4，
∴=，即=，
解得：AD=，…
∵≈3.162，
∴AD＞2=r，
∴直線OP與⊙A相離；…

（3）OP與⊙A切于E，連接AE，可得AE⊥OP，
∴∠AEP=∠OBP=90°，又∠APE=∠OPB，
∴△PAE∽△POB，…
又PA=|AB-BP|=|a-5.5|，AE=2，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=a，
根據(jù)勾股定理得：OP==，
∴=，即=，
解得：a₁=，a₂=3，…
則當(dāng)a=或a=3時，OP與⊙A相切．…
分析：（1）當(dāng)P在A的左邊且P在圓上時，BP=AB-AP=5.5-2=3.5，即為P的橫坐標，再由P的縱坐標與A的縱坐標相等，都為OB的長，確定出此時P的坐標；當(dāng)P在A的右邊且P在圓上時，BP=AB+AP=5.5+2=7.5，即為P的橫坐標，再由P的縱坐標與A的縱坐標相等，都為OB的長，確定出此時P的坐標，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標；
（2）過A作AD垂直于OP，再由OB垂直于BP，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形OPB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入求出AD的長，與半徑r=2比較大小，即可判斷出直線OP與圓A的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，發(fā)現(xiàn)與圓A相切時，P的位置有兩處，設(shè)切點為E，連接AE，由切線的性質(zhì)得到OP與AE垂直，再由OB垂直于BP，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APE與三角形POB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為當(dāng)直線OP與⊙A相切時a的值．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標與圖形性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系可以由d與r的大小來判斷（r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離），當(dāng)d＜r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時，直線與圓相離．