Question

如圖，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5.5，4），⊙A的半徑為2．過(guò)A作直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，請(qǐng)你求出當(dāng)直線OP與⊙A相切時(shí)a的值（參考數(shù)據(jù)：

10

≈3.162，

676

=26）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)P在A的左邊且P在圓上時(shí)，BP=AB-AP=5.5-2=3.5，即為P的橫坐標(biāo)，再由P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相等，都為OB的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；當(dāng)P在A的右邊且P在圓上時(shí)，BP=AB+AP=5.5+2=7.5，即為P的橫坐標(biāo)，再由P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相等，都為OB的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)；
（2）過(guò)A作AD垂直于OP，再由OB垂直于BP，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形OPB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入求出AD的長(zhǎng)，與半徑r=2比較大小，即可判斷出直線OP與圓A的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，發(fā)現(xiàn)與圓A相切時(shí)，P的位置有兩處，設(shè)切點(diǎn)為E，連接AE，由切線的性質(zhì)得到OP與AE垂直，再由OB垂直于BP，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APE與三角形POB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為當(dāng)直線OP與⊙A相切時(shí)a的值．

解答：解：（1）P的坐標(biāo)為（3.5，4）或（7.5，4）；…（2分）

（2）直線OP與⊙A相離．理由如下：
作AD⊥OP于D，如圖所示：
可得∠ADP=90°，
又∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，又∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，…（3分）
又PA=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=12，
根據(jù)勾股定理得：OP=

OB2+BP2

=4

10

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，即

6.5

4 10

=

AD

4

，
解得：AD=

13 10

20

，…（5分）
∵

10

≈3.162，
∴AD＞2=r，
∴直線OP與⊙A相離；…（7分）

（3）OP與⊙A切于E，連接AE，可得AE⊥OP，
∴∠AEP=∠OBP=90°，又∠APE=∠OPB，
∴△PAE∽△POB，…（9分）
又PA=|AB-BP|=|a-5.5|，AE=2，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=a，
根據(jù)勾股定理得：OP=

OB2+BP2

=

42+a2

，
∴

PA

OP

=

AE

OB

，即

|a-5.5|

42+a2

=

2

4

，
解得：a₁=

35

3

，a₂=3，…（12分）
則當(dāng)a=

35

3

或a=3時(shí)，OP與⊙A相切．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系可以由d與r的大小來(lái)判斷（r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離），當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離．