Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（1，0）和B（0，1）．
（1）如圖1，若動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，則使△ABC為等腰三角形的點(diǎn)C有幾個(gè)？
（2）如圖2，直線l是過原點(diǎn)O的一條動(dòng)直線，過A、B向直線l作垂線，垂足分別為M，N，試判斷線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)動(dòng)直線l運(yùn)動(dòng)到如圖3的位置時(shí)，過A、B向動(dòng)直線l作垂線，垂足分別為M，N，試判斷線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明． 

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)可判斷△ABC為等腰直角三角形，則AB=

2

OA=

2

，然后分類討論：當(dāng)CA=CB時(shí)，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；當(dāng)AC=AB時(shí)，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

2

，0）或（1-

2

，0）；當(dāng)BC=BA時(shí)，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）先根據(jù)等角的余角相等可得到∠NBO=∠AOM，再根據(jù)“AAS”可判斷△BON≌△OAM，所以BN=OM，ON=AM，利用MN=ON+OM，即可得到AM+BN=MN；
（3）與（2）的證明方法一樣可得到△BON≌△OAM，則BN=OM，ON=AM，然后利用MN=ON-OM得到AM-BN=MN．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）和B（0，1），
∴OA=OB=1，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=

2

，
當(dāng)CA=CB時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
當(dāng)AC=AB時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

2

，0）或（1-

2

，0）；
當(dāng)BC=BA時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴使△ABC為等腰三角形的點(diǎn)C有4個(gè)；

（2）AM+BN=MN．理由如下：
∵AM⊥l，BN⊥l，
∴∠AMN=∠BNM=90°，
∴∠NBO+∠BON=90°，
而∠BON+∠AOM=90°，
∴∠NBO=∠AOM，
在△BON和△OAM中，

∠BNO=∠OMA ∠NBO=∠AOM OB=OA

，
∴△BON≌△OAM（AAS），
∴BN=OM，ON=AM，
而MN=ON+OM，
∴AM+BN=MN；

（3）AM-BN=MN．理由如下：
與（2）一樣可證明△BON≌△OAM，
∴BN=OM，ON=AM，
而MN=ON-OM，
∴AM-BN=MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：會(huì)求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，理解一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的特征；熟練運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問題．