Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c與y軸交于點A（0，1），過點A的直線與拋物線交于另一點B（3，$\frac{5}{2}$），過點B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設(shè)OP的長度為n．當(dāng)點P在線段OC上（不與點O、C重合）時，試用含n的代數(shù)式表示線段PM的長度；
（3）點P是x軸正半軸上的一動點，連接OM，BN，當(dāng)n為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）將A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，從而可求得b、c的值；
（2）先求得直線AB的解析式，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，0）．將x=n代入y=$\frac{1}{2}x$+1得：y=$\frac{1}{2}n+1$，從而可得到PM的長；
（3）當(dāng)當(dāng)BC=MN時，四邊形BCMN為平行四邊形，設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，0）則PN=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1．最后由MN=$\frac{5}{2}$列出關(guān)于n的方程，從而可解得n的值．

解答 解：（1）∵將點A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-\frac{45}{4}+3b+1=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：c=1，b=$\frac{17}{4}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1．
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}x$+1．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，0）．
∵將x=n代入y=$\frac{1}{2}x$+1得：y=$\frac{1}{2}n+1$，
∴PM=$\frac{1}{2}n+1$．
（3）∵BC∥MN，
∴當(dāng)BC=MN時，四邊形BCMN為平行四邊形．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，0）則PN=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1．
當(dāng)點P在線段OC上時，MN=PN-PM，
∴-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1-（$\frac{1}{2}n+1$）=$\frac{5}{2}$．
整理得：n²-3n+2=0．
解得：n₁=1，n₂=2．
當(dāng)點P在OC的延長線上時，MN=PM-PN．
∴（$\frac{1}{2}n+1$）+$\frac{5}{4}$n²-$\frac{17}{4}$n-1=$\frac{5}{2}$．
整理得：n²-3n-2=0，
解得：n=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，n=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（舍去）
∴當(dāng)n=1或n=2或n=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$時，四邊形BCMN為平行四邊形．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定，用含n的式子表示出PN和PM的長，并列出關(guān)于n的方程是解題的關(guān)鍵．