Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AC的一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A做AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．

（1）猜想：如圖（1）線段OE與線段OF的數(shù)量關(guān)系為　 　；

（2）拓展：如圖（2），若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，AM、DB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，其他條件不變，（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)僅就圖（2）給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）成立.理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA，又因?yàn)?/span>AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

（2）根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA，再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

解：（1）正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AM⊥BE，

∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，

∵∠AFO=∠BFM（對(duì)頂角相等），

∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），

又OA=OB（正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等），

∴△BOE≌△AOF（ASA），

∴OE=OF.

故答案為：OE=OF；

（2）成立.理由如下：

證明：∵四邊形是正方形，

∴，

又∵，

∴，，

又∵

∴∴，

∴