Question

【題目】如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)

A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．直線AB交y軸于點(diǎn)D,拋物線交y軸于點(diǎn)C．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=2x-6，（2）y=x2-2x-3；（3）（0，-）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=kx-6，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；

（2）根據(jù)直線AB的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．

試題解析：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，

∴直線AB的解析式為y=2x-6，

（2）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，-4），

∴設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，

∵點(diǎn)B在直線y=2x-6上，且橫坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

又∵點(diǎn)B在拋物線y=a（x-1）2-4上，

∴a（3-1）2-4=0，解之得a=1，

∴此拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；

（3）在y軸上存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形．理由如下：

作AE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E．

又∵點(diǎn)D是直線y=2x-6與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線y=x2-2x-3與y軸的交點(diǎn)

∴E（0，-4），D（0，-6），C（0，-3）

∴OD=6，OE=4，AE=1，ED=2，OC=3，OB=3，BD=，AD=

①如圖，當(dāng)∠Q1AB=90°時(shí)，△DAQ1∽△DOB，

∴，即，

∴DQ1=，

∴OQ1=6-=，即Q1（0，-）；

②如圖，當(dāng)∠Q2BA=90°時(shí)，△BOQ2∽△DOB，

∴，即，

∴OQ2=，即Q2（0，）；

③如圖，當(dāng)∠AQ3B=90°時(shí)，則△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即，

∴OQ32-4OQ3+3=0，

∴OQ3=1或3，

即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．