Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標(biāo)為（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）中，因為OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，則可過A作AE垂直x軸，垂足為E，利用三角函數(shù)和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，從而可知A（3，1），又因點A在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，由此可求出開k=3，從而求出反比例函數(shù)的解析式．
（2）中，因為一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象交于A，B兩點，點B的坐標(biāo)為（m，-2）．所以3=-2x．
即m=-

3

2

，B（-

3

2

，-2）．然后把點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可求出a、b的值，最終寫出一次函數(shù)的解析式．
（3）因為在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，

PD

DC

=

DC

OD

，而點C、D分別是一次函數(shù)y=

2

3

x-1的圖象與x軸、y軸的交點，因此有C（

3

2

，0）、D（0，-1）．OC=

3

2

，OD=1，DC=

13

2

．進而可求出PD，OP的長得出P點坐標(biāo)．

解答：解：：（1）過A作AE垂直x軸，垂足為E，
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴點A的坐標(biāo)為（3，1）．
∵A點在雙曲線上，
∴

k

3

=1，∴k=3．
∴雙曲線的解析式為y=

3

x

；

（2）∵點B（m，-2）在雙曲線y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
∴m=-

3

2

．
∴點B的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）．
∴

3a+b=1 3 2 a+b=-2

，∴

a= 2 3 b=-1

∴一次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x-1．

（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐標(biāo)分別是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

OD

，
∴PD=

DC2

OD

=

13

4

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P點坐標(biāo)為（0，

9

4

）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)，此類題目往往和三角函數(shù)相聯(lián)系，在考查學(xué)生待定系數(shù)法的同時，也綜合考查了學(xué)生的解直角三角形、相似三角形的知識，是數(shù)形結(jié)合的典型題例，它的解決需要學(xué)生各方面知識的靈活運用．