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已知:在△ABC中,∠C=90°,F(xiàn)為射線BA上一點,且滿足CB2=CE•CA,過B作BD⊥DF于D,交AC邊于E,

(1)如圖1,證明2∠CBD=∠BFD.
(2)如圖2,點F在線段AB上時,若BC:AE=
3
5
,試探究線段BD與DF間的數量關系,并證明你的結論.
考點:相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質
專題:
分析:(1)作AH⊥BD,交BD于點H,由比例式可求得△BCE∽△ACB,得出∠CBD=∠CAB,利用直角三角形得出∠CBD=∠CAH,由平行線得出2∠CBD=∠BFD.
(2)延長BC至點G,使CG=BC,連接AG交BD延長線于點M,連接GE并延長交AB于點K,由△ACG≌△ACB得出∠CAG=∠CAB,BC=CG,由∠BFD=2∠CAB,得出FD∥AM,再由△BGM∽△AEM得出
BG
AE
=
GM
EM
=
6
5
,由△GME∽△BDF,得出
BD
DF
=
GM
EM
=
6
5
,從而得到BD與DF間的數量關系.
解答:解:如圖1,作AH⊥BD,交BD于點H,

∵CB2=CE•CA,即
CB
CE
=
CA
CB
,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBD=∠CAB,
∵∠BCE=∠AHE,∠CEB=∠HEA,
∴∠CBD=∠CAH,
∴2∠CBD=∠BAH,
∵AH∥DF,
∴∠BAH=∠BFD,
∴2∠CBD=∠BFD,
(2)如圖2,延長BC至點G,使CG=BC,連接AG交BD延長線于點M,連接GE并延長交AB于點K,

在△ACG和△ACB中,
CG=BC
∠ACG=∠ACB
AC=AC

∴△ACG≌△ACB(SAS)
∴∠CAG=∠CAB,BC=CG,
∴BC=
1
2
BG,
∵CB2=CE•CA,即
CB
CE
=
CA
CB
,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBD=∠CAB,
∵∠CBD+∠CAB+∠DBF=∠BFD+∠DBF=90°,
∴∠BFD=2∠CAB,
∴∠BFD=∠GAB,
∴FD∥AM,可得∠AMB=90°,
∵∠CBD=∠CAB,
∴∠CBD=∠CAG,
∴△BGM∽△AEM,
BG
AE
=
GM
EM
,
∵BC:AE=
3
5

BG
AE
=
GM
EM
=
6
5
,
∵CG=BC,EC⊥BG,
∴GE=BE,
∴∠CBD=∠CGE,
∵∠CBD=∠CAB,
∴∠CGE=∠CAB,
∵∠CEG=∠KEA,
∴∠EKA=∠GCE=90°,
∵∠GEM=∠BEK,∠GME=∠BKE=90°,
∴∠EGM=∠FBD,
∴△GME∽△BDF,
BD
DF
=
GM
EM
=
6
5
,
∴BD=
6
5
DF.
點評:本題主要考查了相似三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質,解題的關鍵是正確作出輔助線利用三角形相似找出線段的關系,難度很大.
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1
40
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16
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解方程組
(1)
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2(x+1)-2y=10
;(2)
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x=3
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