Question

4．如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．若S_△ABC=1，則S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答 解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=$\frac{1}{2}$BC，CE₁=$\frac{1}{2}$AC，S₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，
∴D₂E₂=$\frac{1}{3}$BC，CE₂=$\frac{1}{3}$AC，S₂=$\frac{1}{{3}^{2}}$S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：$\frac{2}{3}$D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=$\frac{3}{4}$D₂E₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{4}$BC，CE₃=$\frac{3}{4}$CE₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{4}$AC，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S_△ABC…；
∴S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$S_△ABC，
∵S_△ABC=1，
∴S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．