Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中的某圓上，有弦MN，取MN的中點P，我們規(guī)定:點P到某點（直線）的距離叫做“弦中距”，用符號“”表示.

現(xiàn)請在以W（-3，0）為圓心，半徑為2的⊙W圓上，根據(jù)以下條件解答所提問題：

（1）已知弦MN長度為2.

①如圖1：當MN∥x軸時，直接寫出到原點O的的長度；

②如果MN在圓上運動時，在圖2中畫出示意圖，并直接寫出到點O的的取值范圍.

（2）已知點,點N為⊙W上的一動點，有直線，求到直線的的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）d中的最大值為.

【解析】

（1）①如圖3，連接PW、OP、MW，由已知易得PW=，∠PWO=90°，OW=3，這樣在Rt△PWO中由勾股定理即可求得此時點P到原點O的弦中距d中=；②由題意可知，當弦MN在⊙W上運動時，點P的運動路線是以點W為圓心，PW為半徑的圓，如圖4，畫出對應的圖形，由圖結合PW=，即可得到此時點P到原點O的弦中距d中的取值范圍了；

（2）由題意易得當點N在⊙W上運動時，點P在以D為圓心，WM為直徑的圓上運動，由此畫出符合題意的圖形如圖5，作直線l平行于直線y=x-2，則由圖可知，當直線l與⊙D相切，且弦中距d中過圓心D時，點P到直線l的弦中距d中最大，則此時點P到直線y=x-2的弦中距也最大，這樣結合已知條件進行計算即可求得所求的值了.

（1）①如圖3，連接PW、OP、MW，

∵點P是MN的中點，MN=2，

∴PW⊥MN，MP=1，

∵MN∥x軸，

∴PW⊥x軸，

∴∠PWO=90°，

∵OW=3，

∴在Rt△PWO中，PO=，

∴此時點P到原點O的弦中距：d中=；

②由題意可知，當弦MN在⊙W上運動時，點P的運動路線是以點W為圓心，PW為半徑的圓，如圖4，

∵PW=，OW=3，

∴此時點P到原點O的弦中距d中的取值范圍為：<d中<；

（2）如圖5，∵P是弦MN的中點，

∴WP⊥MN，

∴當點N在⊙W上運動時，點P在以D為圓心，WM為直徑的圓上運動，

∵W的坐標為（-3，0），點M的坐標為（-5，0），

∴點D的坐標為（-4，0），

作直線l平行于直線y=x-2，則當點P到直線l的弦中距最大時，點P到直線y=x-2的弦中距就最大，

由圖可知，當直線l與⊙D相切，且弦中距d中過圓心D時，點P到直線l的弦中距d中最大，

設直線y=x-2與x軸交于點E，過點D作直線y=x-2的垂線交直線于點F，

∵直線y=x-2與x軸相交形成的銳角為45°，點E的坐標為（2，0），

∴DE=6，

∴DF=DE·sin45°=，即此時直線l到直線y=x-2的距離為，

∴點P到直線y=x-2的最大距離為：，即d中的最大值為：.