【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一動點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部,延長AF交CD于點(diǎn)G,AB=3,AD=4.
(1)如圖,當(dāng)∠DAG=30° 時(shí),求BE的長;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí),求線段GC的長;
(3)如圖,點(diǎn)E在運(yùn)動過程中,當(dāng)△CFE的周長最小時(shí),直接寫出BE的長.
【答案】(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90,
∵∠DAG=30,
∴∠BAG=60
由折疊知,∠BAE= ∠BAG=30,
在Rt△BAE中,∠BAE=30,AB=3,
∴BE=
(2)如圖,連接GE,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=EC,
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵在矩形ABCD中,
∴∠C=90,
∴∠EFG=90,
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,
EG=EG,
EF=EC,
∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL),
∴GF=GC;
設(shè)GC=x,則AG=3+x,DG=3x,
在Rt△ADG中,42+(3x)2=(3+x)2,
解得x= .
(3)如圖1,
由折疊知,∠AFE=∠B=90,EF=BE,
∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,
∴當(dāng)CF最小時(shí),△CEF的周長最小,
∵∠AFE=90,
∴點(diǎn)A,F,C在同一條直線上時(shí),CF最小,
由折疊知,AF=AB=3,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=AD=4,
∴AC=5,
∴CF=ACAF=2,
在Rt△CEF中,
.EF2+CF2=CE2,
∴BE2+CF2=(4BE)2,
∴BE2+22=(4BE)2,
∴BE= .
【解析】
試題(1)先確定出∠BAE=30°,再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論
(2)連接GE,根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC,然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證FG=CG,設(shè)GC=x,表示出AG、DG,然后在Rt△ADG中,利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解;
(3)先判斷出EF⊥AC時(shí),△CEF的周長最小,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵∠DAG=30°,
∴∠BAG=60°
由折疊知,∠BAE=∠BAG=30°,
在Rt△BAE中,∠BAE=30°,AB=3,
∴BE=;
(2)如圖,/span>連接GE,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=EC,
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵在矩形ABCD中,
∴∠C=90°,
∴∠EFG=90°,
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,,
∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL),
∴GF=GC;
設(shè)GC=x,則AG=3+x,DG=3x,
在Rt△ADG中,42+(3x)2=(3+x)2,
解得x=.
(3)如圖1,
由折疊知,∠AFE=∠B=90°,EF=BE,
∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,
∴當(dāng)CF最小時(shí),△CEF的周長最小,
∵∠AFE=90°,
∴點(diǎn)A,F(xiàn),C在同一條直線上時(shí),CF最小,
由折疊知,AF=AB=3,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=AD=4,
∴AC=5,
∴CF=ACAF=2,
在Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,
∴BE2+CF2=(4BE)2,
∴BE2+22=(4BE)2,
∴BE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校初二開展英語拼寫大賽,愛國班和求知班根據(jù)初賽成績,各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績?nèi)鐖D所示:
(1)根據(jù)圖示填寫下表:
班級 | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 平均數(shù)(分) |
愛國班 | 85 | ||
求知班 | 100 | 85 |
(2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級的復(fù)賽成績比較好?
(3)已知愛國班復(fù)賽成績的方差是70,請求出求知班復(fù)賽成績的方差,并說明哪個(gè)班成績比較穩(wěn)定?
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【題目】如圖,在中,,垂足為,為直線上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),在的右側(cè)作,使得,連接.
(1)求證:;
(2)當(dāng)在線段上時(shí)
① 求證:≌;
② 若, 則;
(3)當(dāng)CE∥AB時(shí),若△ABD中最小角為20°,試探究∠ADB的度數(shù)(直接寫出結(jié)果)
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【題目】一農(nóng)民朋友帶了若干千克的土豆進(jìn)城出售,為了方便,他帶了一些零錢備用.按市場售出一些后,又降價(jià)出售.售出土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用零錢)的關(guān)系如圖所示,結(jié)合圖像回答下列問題:
(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少?
(2)降價(jià)前他每千克土豆出售的價(jià)格是多少?
(3)降價(jià)后他按每千克0.4元將剩余的土豆售完,這時(shí)他手中的錢(含備用的錢)是26元,問他一共帶了多少千克的土豆?
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【題目】請認(rèn)真閱讀,回答下面問題:如圖,為的中線,與相等嗎?(友情提示:表示三角形面積)
解:過點(diǎn)作邊上的高,
∵為的中線
∴
∵
∴
(1)用一句簡潔的文字表示上面這段內(nèi)容的結(jié)論;
(2)利用上面所得的結(jié)論,用不同的割法分別把下面兩個(gè)三角形面積4等分,(只要割線不同就算一種)
(3)已知:為的中線,點(diǎn)為邊上的中點(diǎn),若的面積為20,,求點(diǎn)到邊的距離為多少?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在AB邊上,沿CE折疊矩形ABCD,使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處,若AB=4,BC=5,則tan∠AFE的值為___.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,PA、PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A、C,PC交AB的延長線于點(diǎn)D.DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線;
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求⊙O的半徑及△ACP的周長.
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【題目】如圖,E、F分別是AD和BC上的兩點(diǎn),EF將四邊形ABCD分成兩個(gè)邊長為5cm的正方形,∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°;點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)且CH=lcm,點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā),沿HD以lcm/s的速度運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C以5cm/s的速度運(yùn)動.任意一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)即停止運(yùn)動;連結(jié)EP、EQ.
(1)如圖1,點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動,連結(jié)QF,當(dāng)t= 時(shí),QF//EP;
(2)如圖2,若QE⊥EP,求出t的值;
(3)試探究:當(dāng)t為何值時(shí),的面積等于面積的.
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