Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A=∠EBC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G，若BG•BA=48，F(xiàn)G=$\sqrt{2}$，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得$\frac{BC}{BG}$=$\frac{AB}{BC}$求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC²=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG，進(jìn)而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問題．

解答 （1）證明：連接CD，
∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O切線．
（2）解：∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴$\frac{BC}{BG}$=$\frac{AB}{BC}$，即BC²=BG•BA=48，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC²=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF=$\sqrt{B{C}^{2}-F{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CG=CF+FG=5$\sqrt{2}$，
在RT△BFG中，BG=$\sqrt{B{F}^{2}+F{G}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵BG•BA=48，
∴$BA=8\sqrt{2}$即AG=5$\sqrt{2}$，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，
∴CH=CB=4$\sqrt{3}$，
∵△ABC∽△CBG，
∴$\frac{AC}{CG}$=$\frac{BC}{BG}$，
∴AC=$\frac{BC•CG}{BG}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴AH=AC-CH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是巧妙利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．